概要

ここでは、一定運動をしている導体内の方程式について述べます。

解説

他の領域の方程式は、従来の静磁場解析と全く同様であり、また、取り扱いも変わりません。 通常の渦電流解析と同様に、$A$-$\phi$法を用います。 すなわち、磁場および電場を磁気ベクトルポテンシャル$A$と電気スカラポテンシャル（$\phi$の時間積分）$\Phi$により次のように表現します。

$$B = \nabla × A　　　　　(1)$$

$$E = -\dot{A} – \nabla \dot{\Phi}　　　　　(2)$$

運動導体の構成方程式は、通常と同じように次の関係で表されます。ここで、$\sigma$ は導電率です。ここでは、運動する導体に固定した座標系を用いますので、$\nu×B$の運動項は現れません。

$$J = \sigma E　　　　　(3) $$

次のアンペア則と電流保存の式

$$\nabla \times H = J　　　　　(4)$$

$$\nabla \cdot J = 0　　　　　(5)$$

に（1)(2)(3)式を代入しますと、次の解くべき支配方程式が導出されます。

$$\nabla \times \frac{1}{\mu} \nabla \times A + \sigma ( \dot{A} + \nabla \dot{\Phi} ) = 0　　　　　(6)$$

$$- \nabla \sigma ( \dot{A} + \nabla \dot{\Phi} ) = 0　　　　　(7)$$

直流場渦電流解析では（7）式における時間微分に対して、風上差分をとります。 有限要素メッシュがFig.1の様に運動方向に等間隔に分割されているとします。 回転の場合は、等角度分割とします。 $A$に対する未知変数は辺上に、$\Phi$に対する変数は節点に割り振られます。 辺$e$に対する$A$の変数を$A^e$と表し、節点$n$ に対する変数を$\Phi^n$とします。 辺$e$に対して、1メッシュ運動の風上側にある辺を$\tilde{e}$とで表し、節点$n$に対してはと$\tilde{n}$表します。

Fig.1　運動導体の要素分割

このとき、風上時間差分は、

$$\dot{A^e} \approx \frac{1}{\delta t} ( A^e – A^{\tilde{e}} )　　　　　(8)$$

$$\dot{\Phi} \approx \frac{1}{\delta t} ( \Phi^n – \Phi^{\tilde{n}} )　　　　　(9)$$

と表されます。
ここで、$δt$は導体が1メッシュ運動する時間で $h$/νで与えられます。 （6）式にガラーキン法を適用し、（8）（9）式を用いて方程式を解きます。 全体行列は非対称行列となり、従来のICCG法は使えず、非対称行列解法が必要です。 ここでの定式化では$A$-$\phi$法を用いましたが$\phi$を除いたA法でも定式化できます。 上の定式で$\Phi$を除くだけです。 通常の渦電流解析と同様に、$A$-$\phi$法の方が変数は増えますが、収束は早くなります。 また、（2）式において、EMSolutionにおける過渡解析での$A$と$\phi$の取り扱いと同じにするため、$\phi$の時間積分量$\Phi$を用いましたが、$\phi$を直接用いることも可能としました。 この場合がもっとも収束が早いようです。 ただし、過渡解析では（2）式の取り扱いをしていますので、 直流場渦電流解析結果を初期値として過渡解析を始める場合は、注意が必要です。 すなわち、以下の3種の取り扱いをEMSolutionにおいて選択できる ようにしています。

（1）A法

$$E = – \dot{A}　　　　　(10)$$

（2）A-Φ法
$$E = – \dot{A} – \nabla \dot{\Phi}　　　　　(11)$$

（3）A-φ法
$$E = – \dot{A} – \nabla \phi　　　　　(12)$$

非対称行列解法として不完全コレスキー分解付き双共役勾配法（ILU Bi-CG 法、ILU Bi-CGSTAB 法およびILU GPBi-CG 法） を導入しました。 ILU GPBi-CG法が比較的収束がいいようですが、従来の対称行列を用いる渦電流解析より、かなり収束はよくありません。 特に、要素が偏平になった様な場合、収束しないことがあります。

直流場渦電流解析においては、周期境界条件を用います。 周期対称あるいは周期反対称条件を直線運動や回転運動に用いることができます。 渦電流の発生する領域のメッシュは運動方向に対して等間隔、回転運動に対しては等角度で分割されている必要があります。 本解析の場合も、スライド法が使用できます。 このことにより、直流場渦電流解析の結果を初期値として、直線運動や回転運動の過渡解析を行うことができます。 実行の方法は従来の静磁場解析を初期値とする方法とほとんど同じです。 非線形計算も従来の静磁場解析と同様に可能です。