概要

既にEMSolutionにおける無限境界要素の取り組みは"無限境界要素の適用"，"境界条件と無限要素"で述べています。無限境界要素は解析領域境界に無限遠に達する有限要素を加えたことと等価で，有限要素法で開領域問題を解くことを可能にします。通常，有限要素法の解析領域の境界の影響を無くすためには，かなり広い空気の解析領域を設定する必要があります。しかし，無限境界要素を使用することにより，空気の解析領域を削減することが可能となり，メッシュ分割も容易になるだけでなく計算時間を短縮することが期待できます。

解説

本手法は軸対称三次元および三次元の解析で使用することができます。従来，軸対称三次元ではICCG法の収束性は問題なく非常に有効な方法ですが，三次元解析では収束性が問題となっておりましたが，この度高速化に成功し，実務レベルの計算時間となりました。

ここでは，三次元解析における無限境界要素を適用し，Fig.1で示される電気学会検証用コイルのインダクタンスを計算します。コイルは空心とし，対称性より全体の1/8領域の静磁場解析を行います。コイルはSDEFCOILとして定義し，インダクタンスは，LI=∫A・JdV により求められます。

対称境界以外の遠方境界に無限境界要素を適用し，コイル外側に空気領域を取らない場合（1倍領域），三次元の各方向にその2倍および4倍の空気領域で解析を行いました。外部領域磁場の無限境界要素の展開次数（以下，オーダーと呼ぶ）は，多く取るに従い精度が高くなります。 Fig.2で見られますように，解析領域内の磁場は空気領域の大きさにかかわらず，ほぼ一致した結果となっています。Fig.2(a)の1倍領域のように，コイルとその内部の空気だけでコイル外部の空気領域がなくても，精度よく解析されていることがわかります。

Fig.3に示すように，計算されたインダクタンスの精度は解析領域の大きさと無限境界要素のオーダーに依存します。解析領域を大きく，またオーダーを高くするに従い，インダクタンスが一定値に収束していることがわかります。一般に，真のインダクタンス値は境界条件をBn=0とHt=0で解いた中間になりますが，今回も，そのような傾向になっています。必要とする解析精度によりますが，1倍領域の解析では4次のオーダーの計算が必要ですが，4倍領域の解析では1次のオーダーで十分な精度となっています。Table Iに，解析諸元をまとめます。
次に計算時間の比較を行います。Fig.4に示すように，同じ解析領域では，無限要素を使用すると計算時間が増加します。従来は、特にオーダーを高くしますと，急激にその計算時間が増大する問題がありましたが、高速化により計算時間の短縮に成功していることが示せているかと思います。入力は従来と変わりません。是非お使い頂ければと思います。

（１）1倍領域

	Ht=0	Bn=0	無限要素
Oder	0	0	1	2	3	4
Number of elements	30,400
Number of nodes	33,201
Number of unknowns	93,420	88,180	96,020	103,860	111,700	119,540
Number of non-zeros	1,510,993	1,424,411	1,554,407	1,805,615	2,178,035	2,671,667
ICCG Itarations error <$10^{-8}$	81 / 138*	81 / 146*	142 / 203*	204 / 817*	235 / 3,838*	261 / 16,356*
CPU Times (s)	3.2 / 3.7*	3.2 / 4.2*	5.0 / 5.8	7.1 / 32.3*	9.4 / 195.5*	12.2 / 1,001.5*
Inductance (H)	3.38133E-03	3.04443E-04	1.50634E-03	1.67678E-03	1.69503E-03	1.69917E-03

*無限要素高速化による結果／従来の無限要素による結果

（２）２倍領域

	Ht=0	Bn=0	無限要素
Order	0	0	1	2	3	4
Number of elements	67,648
Number of nodes	72,297
Number of unknowns	205,724	197,820	209,644	221,468	233,292	245,116
Number of non-zeros	3,370,313	3,238,899	3,435,999	381,039	4,379,019	5,124,939
ICCG Itarations error < $10^{-8}$	138	146	204 / 203*	249 / 817*	277 / 3,838*	297 / 16,356*
CPU Times (s)	10.3 / 12.4*	10.5 / 12.8*	14.5 / 20.2*	18.2 / 61.7*	22.3 / 321.7*	27.2 / 1,518.8*
Inductance (H)	2.06976E-03	1.42398E-03	1.69477E-03	1.70070E-03	1.70081E-03	1.70082E-03

*無限要素高速化による結果／従来の無限要素による結果

（３）４倍領域

	Ht=0	Bn=0	無限要素
Order	0	0	1	2
Number of elements	103,104
Number of nodes	109,113
Number of unknowns	311,828	302,148	316,628	331,108
Number of non-zeros	5,136,633	4,975,331	5,217,167	5,683,095
ICCG Itarations error < $10^{-8}$	218	208	267	304 / 1,004*
CPU Times (s)	22.6 / 24.7*	21.0 / 23.6*	26.9 / 29.3*	32.4 / 107.8*
Inductance (H)	1.75995E-03	1.65485E-03	1.70062E-03	1.70069E-03

*無限要素高速化による結果／従来の無限要素による結果