概要

有限要素法においては、通常有限領域をメッシュ分割し解析が行われます。一般的には、磁場が充分小さくなるところまで領域をとり、適当な境界条件を与えれば良いと言えますが、実際の解析においてどの程度まで領域をとり、どのような境界条件を与えれば良いか迷われることが多いと思われます。特に、閉磁路が構成されていない磁気回路では、磁場は遠方まで達し、充分境界が遠くないと、境界条件が大きな影響を与えます。

解説

ここでは、簡単なリング電流の磁場を解析し、境界条件の影響を調べます。また、EMSolutionにおいて、軸対称の場合、無限要素が使えますが、その適用について調べます。まず、Fig.1の様なモデルを考え、軸対称静磁場解析を行います。境界条件としては、ディリクレ条件（Bn=0）とノイマン条件（Ht=0）の両条件で解析します。

Fig.1　解析モデル

結果はFig.2、3の様になります。等高線はは磁気面を表しており、磁場は等高線方向となります。Fig.2では境界で磁場が面に平行しており、Fig.3では直交しています。これは、与えた境界条件と整合していますが、二つの分布はかなり異なっていることがわかります。中心軸上の計算された磁場と解析解をFig.4に示します。今の結果は、d=1mのものです。ディリクレ条件とノイマン条件による結果は大きく離れていますし、解析解とも離れています。ただ、多くの場合、真の結果は、両条件の間に来ます。平均しますと、かなり良い値になりそうです。また、ディリクレ条件の場合は、解析された磁場は低めに、ノイマン条件の場合は、高めに評価されます。これは、ディリクレ条件による解析は境界に超伝導壁を置いたものと等価であり、内部の磁場をうち消すと、ノイマン条件では無限大の透磁率を置いたのと等価であり磁場が通りやすいと考えますと、理解できるかと思います（必ずしもいつも以上のことが成り立つとは言えませんので、注意下さい）。Fig.4には、解析領域を広げ、ｘおよびｚ方向の解析領域の大きさを2dとし、d=2、5mとした場合も示しています。解析領域を広げるにつれて、真値に近づく様子が理解できると思います。d=5mとしますと、ほとんど解析解と一致しています。多く、解析対称の5倍くらいの領域をとれば良いと言われますが、良く当てはまっています。

解析領域の大きさを決める指針としては、次のようなことが言えると考えます。適当な領域を設定し、ディリクレ条件とノイマン条件の両方で解析をしてみて、結果が異なるようでしたら、解析領域を広げる必要があります。良く一致しているようでしたら、領域の広さは充分で、むしろ計算を速くするために領域を小さくすることも考えられます。

Fig.2　ディリクレ条件（Bn=0）での
磁束分布

Fig.3　ノイマン条件（Ht=0）での
磁束分布

Fig.4　Z軸上でのBzの分布
2dが領域の各方向幅

さて、EMSolutionでは、軸対称問題の場合、無限要素が効率よく使えます。EMSolutionの無限要素では、境界の各要素を無限まで延長し、の磁場の内挿関数を1/rnの線形和で表現しています。入力のinputでは、この和の項数と延長する原点を入力します。 最初と同じメッシュで、Fig.5は項数を3とした場合の結果です。Fig.2、3のように境界で平行、垂直の条件が課されておらず、境界の影響の少ない、妥当な分布となっています。Fig.6に解析解との比較を示しますが、項数2程度で良く一致しています。項数3で充分かと思われます。 本無限要素は、実は一般の三次元でも使えます。ただし、ICCG法の収束が非常に悪く実用的では無いかと思われます。二次元軸対称計算の場合は、無限要素が有る場合と無い場合で収束はほとんど変わりませんので、是非、試していただければと考えます。

Fig.6　無限要素を使用した場合の
Z軸上でのBzの分布

Fig.7　無限要素を使用した場合の
磁束分布

使用方法

ここでは、無限要素を使用した場合のデータについて示します。inputファイルにおいて、Handbook「13.境界条件」で次のデータを入力します。FAR_BOUNDARY_CONDITION=2は無限要素を使用することを示します。NO_BE_TERMSは無限要素内挿関数の項数で、BE_CENTERは境界を拡張する原点です。BE_CENTERにはモデルの中心近くを指定してください。軸対称の場合はｚ軸上です。この原点から境界の点を結ぶ線の延長が、解析領域と交わらないようにしてください。 　

* FAR_BOUNDARY_CONDITION * 2 * NO_BE_TERMS * BE_CENTER X(m), BE_CENTER Y(m), BE_CENTER Z(m) * 1 0.0 0.0 0.0

ダウンロード

解析モデル

・ input.txt
・ pre_geom2D.neu