概要

小型のスイッチング電源回路のパワーインダクタとして使用されるフェライトや電力用フェライトは，高周波領域で使用されることが多く，周波数が高くなると損失が増大することが知られており，その低損失化が課題となっています。一般的に高周波領域での軟磁性材料の磁気特性は，複素透磁率の周波数特性を用いて表されます。
この度，交流定常解析（AC解析）において複素透磁率を設定できるように拡張しましたので，紹介いたします。

解説

複素透磁率と損失

複素透磁率を用いた渦電流を含まない線形交流解析，いわゆるjω法の基礎方程式は次式で表されます。

$$\nabla×(\frac{1}{\dot{\mu}}×{\dot{A}})={\dot{J_0}}　　　　　(1)$$

ここで，$\dot{A}$は磁気ベクトルポテンシャル，$\dot{J}$は入力電流密度，$\dot{\mu}$は複素透磁率を表し，ドット（$\cdot$）は複素数を表します。 複素透磁率は$\mu=\mu^{\prime} – j\mu^{\prime\prime}$として表され，$j$は虚数です。 複素透磁率は周波数特性があり，本交流定常解析では解析する周波数の $\mu^{\prime}$ , $\mu^{\prime\prime}$を設定することになります。 複素透磁率を用いることで磁界の強さ$H$に対して磁束密度$B$は位相遅れが発生します。 この位相遅れによりBHループを描くようになり，その面積は損失（コアロス）となります。 単位時間，単位体積当たりのコアロス$W(W/m^3)$は $\mu^{\prime\prime}$を用いて次式で表されます。

$$W=\frac{\omega}{2\pi}\int HdB = \frac{1}{2}\omega\mu^{\prime\prime}H_0^2　　　　　(2)$$

ここで，$\omega$は角周波数，$H_0$は交流磁界の振幅$（H = H_0e^{j\omega t} ）$を表します。
高周波領域での実際のコアロスは，一般的にヒステリシス損，渦電流損，残留損からなると言われています。

解析例

文献[1]を参考に，Fig.1に示す，リング試料に一次，二次コイルを巻きつけたトロイダルコイルを用いて解析します。 材質はSUS430のバルク試料とし，試料中の平均磁束密度が5mTとなるように電圧を決定し，100Hz，1kHz，10kHzの交流電圧を印加します。 計算領域は角度方向0.5度，上下方向1/2としています。複素比透磁率は文献[1]を参考に設定しました。 100Hz，1kHzまでは $\mu^{\prime} > \mu^{\prime\prime}$ですが，10kHzでは$\mu^{\prime\prime}$値がピークを越えて逆に$\mu^{\prime} < \mu^{\prime\prime}$となっています。 参考までに，実部のみで100Hzの電圧を印加した場合の結果も併せて示します。

（a）トロイダルコイル

（b）解析領域
（周方向0.5度，上下1/2）

Fig.1　検証モデル

Fig.2に電流波形を示します。電流その位相差を比較するために，実数部のみの100Hzの電圧波形も併せて示します。 電圧波形は周波数が10倍になると振幅が10倍になるだけで，位相は同じことにご注意ください。 これより，複素透磁率を使用すると100Hzではわずかに電流位相がずれていたのが，1kHzでさらにずれています。 $\mu^{\prime}$ < $\mu^{\prime\prime}$となる10kHzでは大きくずれることがわかります。
これは1kHzまでの複素透磁率の$\mu^{\prime\prime}$は小さいのに対し，10kHzでは$\mu^{\prime}$ , $\mu^{\prime\prime}$がほぼ同じ値程度になるため，$\mu^{\prime\prime}$の影響が大きく出ているためです。Fig.3に電流Iと磁束波形$\Phi$より算出したBHループを示します。なお，B, Hループは以下の式より算出しています。

$$B = \frac{\Phi}{nS}　　　　　　　　　　(3)$$
$$H = \frac{nI}{l}　　　　　　　　　　(4)$$

ここで，$n$はターン数，$S$は試料断面積，$l$は平均磁路長です。 100Hzでの複素透磁率の結果は電流の位相差分曲線がわずかに膨らむ程度ですが，1kHzではさらに膨らみ，10kHzでは大きく膨らんでいることがわかります。 磁気損失は先に説明しましたように，BHループ内の面積，もしくは(2)式より算出できます。 Table 1に上記に手法とEMSolution内部で算出した磁気損失を示します。 なお，(2)式で使用した$H_0$は(4)式で算出した$H$の振幅を使用しています。 よく一致していることが確認できます。

Fig. 2　コイル電流波形 (A)

Fig. 3　BHループ

Table 1　磁気損失比較 $(W/m^3)$

簡単ですが，複素透磁率を用いた交流定常解析について紹介しました。本機能はACで使用可能です。 文献[1]のように，複素透磁率と渦電流の両方を考慮した解析も可能です。ぜひご活用いただければと思います

参考文献

[1] : 梁，平田，太田，光武，河瀬
「非接触磁気方式ポジションセンサのインピーダンス特性解析」，SA-07-72/RM-07-88 (2007)